La paradoja de Monty Hall

<<Supón que estás en un concurso y te han dado a elegir entre tres puertas. Detrás de una de ellas hay un coche y detrás de las otras dos hay cabras. Eliges una puerta, digamos que la 1, y el presentador (que sabe lo que hay detrás de cada puerta) abre una de las que no has elegido, digamos que la 3, dejando ver detrás de ella a una cabra. Y ahora te pregunta ….

¿quieres quedarte con la puerta 1?>>

La mayor parte de las personas que lean esto estaréis pensando que vaya pregunta más absurda, que qué más da si total, la probabilidad de acertar es la misma, ¿o no?

Mientras os dejo tiempo para pensar, voy a hablaros de Marilyn Vos Savant. Para los que no la conozcáis, esta mujer americana figura en el Libro Guinness de los Récords por ser la persona con el coeficiente intelectual más elevado del mundo (228).

De profesión escritora y columnista, dada la fama que cogió al batir el récord, la revista Parade le concedió una columna semanal llamada <<Ask Marilyn>> en la que responde a preguntas de diversa naturaleza. Fue en esta publicación, en 1990, cuando resolvió la paradoja de Monty Hall (arriba enunciada) y, ante el desacuerdo de matemáticos ilustres de la época, afirmó que convenía cambiar de puerta ya que había mayor probabilidad de acierto. La revista recibió casi 10.000 cartas de personas que se escandalizaban con la respuesta de Marilyn.

La cuestión es saber justificar matemáticamente, en términos probabilísticos, si es mejor quedarse con la elección inicial (la puerta 1) o cambiar a la que el presentador no ha abierto entre las otras dos, en este caso la puerta 2.

A priori, puede parecer que, como la probabilidad inicial de elegir el coche era 1/3; una vez que se descarta la puerta 3, la probabilidad de elegir el coche de entre las dos puertas restantes es 1/2. Sin embargo, no es así porque se está obviando el hecho de que el presentador sabe lo que hay detrás de cada una de las puertas y ha abierto la puerta 3 sabiendo que detrás había una cabra, no al azar.

La clave es pensar en la probabilidad de acierto en función de la clásica proporción entre casos favorables y casos totales.

• PROBABLIDAD DE COCHE SI CAMBIAMOS = 2/3
  • Caso 1: detrás de la puerta 1 estaba el coche, si cambiamos a la puerta 2 nos llevamos una cabra. NO ganamos el coche
  • Caso 2: detrás de la puerta 1 estaba una cabra, si cambiamos a la puerta 2 nos llevamos el coche. Ganamos el coche
  • Caso 3: Detrás de la puerta 1 estaba la otra cabra, si cambiamos a la puerta 2 nos llevamos el coche. Ganamos el coche

• PROBABILIDAD DE COCHE SI NO CAMBIAMOS = 1/3
  • Caso 1: detrás de la puerta 1 estaba el coche, si no cambiamos a la puerta 2 nos llevamos el coche. Ganamos el coche
  • Caso 2: detrás de la puerta 1 estaba una cabra, si no cambiamos a la puerta 2 nos llevamos una cabra. NO ganamos el coche
  • Caso 3: detrás de la puerta 1 estaba la otra cabra, si cambiamos a la puerta 2 nos llevamos una cabra. NO ganamos el coche

En el siguiente diagrama de árbol se ilustran todas las posibilidades del juego con sus respectivas probabilidades asociadas. En amarillo están sumadas todas las probabilidades de <<coche>> condicionado a no cambiar de elección (es decir, elegir la puerta 1 y que el coche esté en la puerta 1, elegir la puerta 2 y que el coche esté en la puerta 2 o elegir la puerta 3 y que el coche esté en la puerta 3) que suman 6/18. Es decir, 1/3 y, en verde, están sumadas todas las probabilidades de <<coche>> condicionadas a cambiar de elección (es decir, que el coche esté en la puerta 1 y elegir la puerta 2 o la 3 inicialmente, que el coche esté en la puerta 2 y elegir la 2  la 3 inicialmente o que el coche esté en la 3 y elegir la 1 o la 2) que suman 6/9, es decir, 2/3.

Podemos concluir con seguridad que si no cambiamos nuestra elección nos llevamos el coche 1 de cada 3 veces, mientras que si cambiamos de opción nos llevaríamos el coche 2 de cada 3 veces. Entonces, merece la pena correr el <<riesgo>> y cambiar de puerta, ¿verdad?

            Seguro que muchos de vosotros estáis desconfiando de lo que acabo de exponer y pensáis que ya estamos los matemáticos diciendo cosas raras y enredando a la gente; si eres uno de ellos, te animo a que pruebes empíricamente el resultado manualmente o con simulaciones y comprobarás que ganarás el coche el 66.66% de las veces. Seguro que a los muchos programadores, que leen este blog regularmente, se les ocurre alguna manera de programarlo y convencerse.

            Finalmente, me gustaría acabar este post diciendo que, aunque la paradoja parezca anecdótica y antigua, es siempre relevante recordar que, antes de enfrentarnos a cualquier problema, es preferible analizar adecuadamente las hipótesis previas y las condiciones sin sacar conclusiones aceleradas guiadas por la intuición. En el mundo de los datos en general, una afirmación sin pruebas que la sustente no debería tener ningún valor.

*Fuente imagen Marilyn Vos Savant: Medium

*Diagrama de árbol: elaboración propia 

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